Question

Cho hình bình hành ABCD, phân giác của góc A và góc D cát các đường chéo BD VÀ AC LẦN LƯỢT TẠI M và N chứng minh MN song song Ad

Answer 1

Gọi O là giao điểm AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDAC có DN là phân giác

nên \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AD}{DC}\)

Xét ΔBAD có AM là phân giác

nên \(\dfrac{DM}{MB}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(\dfrac{DM}{MB}=\dfrac{AD}{DC}\)

=>\(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{DM}{MB}\)

=>\(\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{MB}{DM}\)

=>\(\dfrac{CN}{AN}+1=\dfrac{MB}{MD}+1\)

=>\(\dfrac{CN+AN}{AN}=\dfrac{MB+MD}{MD}\)

=>\(\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BD}{MD}\)

=>\(\dfrac{AN}{MD}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{2\cdot OA}{2\cdot OD}=\dfrac{OA}{OD}\)

=>\(\dfrac{AN}{OA}=\dfrac{MD}{OD}\)

Xét ΔOAD có \(\dfrac{AN}{AO}=\dfrac{DM}{DO}\)

nên MN//AD