Question

cho hình bình hành ABCD . M,N,P,Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA .Sao cho MNPQ là hình bình hành.Chứng minh rằng 4 đường AC,BD,MP,NQ đồng quy

Answer 1

là 3169

Answer 2

Lời giải:

a)

Vì BN=DQ,AD=BC⇒AD−DQ=BC−BNBN=DQ,AD=BC⇒AD−DQ=BC−BN hay AQ=NCAQ=NC

Xét tam giác AQMAQM và CNPCNP có:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪AQ=CNAM=CPQAMˆ=NCPˆ(do ABCD là hình bình hành){AQ=CNAM=CPQAM^=NCP^(do ABCD là hình bình hành)

⇒△AQM=△CNP(c.g.c)⇒QM=NP⇒△AQM=△CNP(c.g.c)⇒QM=NP

Hoàn toàn tương tự: △MBN=△PDQ(c.g.c)⇒MN=PQ△MBN=△PDQ(c.g.c)⇒MN=PQ

Tứ giác MNPQMNPQ có 2 cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

b)

Gọi KK là giao điểm của ACAC và MPMP

Xét tam giác AKMAKM và CKPCKP có:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪KAMˆ=KCPˆ(so le trong)KMAˆ=KPCˆ(so le trong)AM=CP{KAM^=KCP^(so le trong)KMA^=KPC^(so le trong)AM=CP

⇒△AKM=△CKP(g.c.g)⇒△AKM=△CKP(g.c.g)

⇒AK=CK;KM=KP(1)⇒AK=CK;KM=KP(1)

Vì ABCDABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BDAC,BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự, MNPQMNPQ là hình bình hành nên MP,QNMP,QN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà từ (1)(1) suy ra KK là trung điểm của AC,MPAC,MP, do đó KK cũng là trung điểm của BD,QNBD,QN

Do đó AC,BD,MP,NQAC,BD,MP,NQ đồng quy tại (trung điểm) KK.

~Hok tốt~