Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là giao điểm các đường phân giác của A và B. Gọi N là giao điểm các đường phân giác của A và D. Gọi P là giao điểm các đường phân giác của C và D. Gọi Q là giao điểm các đường phân giác của C và B.
a) Chứng minh AN vuông góc với BQ.
b) Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
c) Chứng minh bốn đường thẳng AC, BD, MP, QN đồng quy.
a: ABCD là hình bình hành
=>\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^0;\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^0;\widehat{ADC}+\widehat{BCD}=180^0;\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)
\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^0\)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}\right)=180^0\)
=>\(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90^0\)
=>\(\widehat{AMB}=90^0\)
=>AM vuông góc MB
=>AN vuông góc BQ
b: \(\widehat{ADC}+\widehat{BCD}=180^0\)
=>\(2\cdot\left(\widehat{PDC}+\widehat{PCD}\right)=180^0\)
=>\(\widehat{PDC}+\widehat{PCD}=90^0\)
=>ΔPCD vuông tại P
=>\(\widehat{CPD}=90^0\)
=>\(\widehat{NPQ}=90^0\)
\(\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)
=>\(2\cdot\left(\widehat{NAD}+\widehat{NDA}\right)=180^0\)
=>\(\widehat{NAD}+\widehat{NDA}=90^0\)
=>ΔNAD vuông tại N
=>\(\widehat{AND}=90^0\)
=>\(\widehat{MNP}=90^0\)
Xét tứ giác MNPQ có
\(\widehat{MNP}=\widehat{NMQ}=\widehat{NPQ}=90^0\)
=>MNPQ là hình chữ nhật
