Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)
và \(E=x+y+z\)
\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)
\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)
mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)
_Hắc phong_
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)
Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :
\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)
(6 số \(\frac{5}{2}x\)) (5 số\(3y\)) (4 số\(\frac{15}{4}z\))
\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)
Và cũng có :
\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)
(3 số\(10x\)) (5 số\(12y\)) (7 số\(15z\))
\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)
Điều này có nghĩa là :
\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)
Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)
Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)
Từ đó suy ra
\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)
_Minh ngụy_
Đặt: \(a=\frac{1}{3x};b=\frac{4}{5y};c=\frac{3}{2z}\left(x,y,z>0\right)\)
Khí đó điều kiện đề cho trở thành: \(3x+5y+7z\le15xyz\)
Áp dụng AM - GM ta có:
\(3x+5y+7z\ge15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow15xyz\ge15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\Rightarrow x^6y^5z^4\ge1\)
Ta có; \(E=3x+2.\frac{5}{4}y+3.\frac{2}{3}z=\frac{1}{2}.\left(6x+5y+4z\right)\ge\frac{1}{2}.15\sqrt[15]{x^6y^5z^4}\ge\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)hay\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó điều kiện bài toán trở thành \(12xyz\ge2x+8y+21z\)và khi đo .\(\Rightarrow E=x+2y+3z\).
Từ giả thiết \(z\left(12xy-21\right)\ge2x+8y\Rightarrow z\ge\frac{2x+8y}{12xy-21}\)với \(12xy-21>0\Rightarrow x>\frac{7}{4y}\)Suy ra :
\(E\ge x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7}\)
Xét hàm số\(f\left(x\right)=x+\frac{2x+8y}{4xy-7}=\frac{4x^2y-5x+8y}{4xy-7}\)với biến \(x>\frac{7}{4y}\)và y là tham số thực dương có :
\(f'\left(x\right)=\frac{16x^2y^2-56xy-32y^2+35}{\left(4xy-7\right)^2}\)
Trên \(\left(74y;+\infty\right)\) th\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=x_0=\frac{7}{4y}+\frac{\sqrt{32y^2+4}}{4y}\)và qua\(x_0\) thì\(f'\left(x\right)\)đổi dấu từ âm sang dương nên \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
Suy ra\(f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right)=2x_0-\frac{5}{4y}\Rightarrow E\ge f\left(x\right)+2y\ge f\left(x_0\right)+2y=g\left(y\right)\)
Xét hàm số \(g\left(y\right)=2y+\frac{9}{4y}+\frac{1}{2y}\sqrt{32y^2+14}\)Sau khi tính\(g'\left(y\right)\)ta có :
\(g'\left(y\right)=\left(8y^2-9\right)\sqrt{32y^2+14}-28=0\)
Đến đây dễ dàng tìm được \(y\) với ẩn\(t=\sqrt{32y^2+14}\)có nghiệm duy nhất\(t=\sqrt{32y^2-4}=8\Leftrightarrow y=y_0=\frac{5}{4}\) Vậy \(g'\left(\frac{5}{4}\right)=0\) với\(y>0\)và qua \(y_0\) đổi dấu từ âm sang dương nên\(g\left(y\right)\)đạt cực tiểu tại \(y_0\). Khi đó \(g\left(y_0\right)=g\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{15}{2}\)
Do vậy ta có\(E\ge g\left(y\right)\ge g\left(y_0\right)=\frac{15}{2}\). Suy ra \(E_{min}=\frac{15}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi\(x=3;y=\frac{5}{4};z=\frac{2}{3}\) hay \(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
_Tần vũ_
Đặt : \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\)
Khi đó , điều kiện sẽ là:
\(2x+8y+21z\le12xyz\)
\(\Leftrightarrow3z\ge\frac{2x+8y}{4xy-7}\)
\(\Rightarrow E\ge x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7}\)
\(=x+\frac{11}{2x}+\frac{11}{2x}\left[\left(4xy-7\right)+\frac{4x^2+28}{4xy-7}\right]\)
\(\ge x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{x}\sqrt{4x^2+28}\)
\(=x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\sqrt{\left(1+\frac{7}{9}\right)\left(1+\frac{7}{x}\right)}\ge x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\left(1+\frac{7}{3x}\right)\)
\(=x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\ge2\sqrt{9}+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)
Vậy \(E_{min}=\frac{15}{2}\)đạt được khi \(x=3;y=\frac{5}{4};z=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
_Vi hạ_
v: Bài này học rồi, làm được cách khác lên nhai luôn)):
Chia 2 vế của giả thiết cho abc, ta được:\(\frac{21}{c}+\frac{2}{a}+\frac{4}{b}\le\frac{12}{abc}\)(1)
Tới đây ta chú ý rằng ta có 12 = 2.1.2.3 ; 21 = 7.3 ; 2 = 2.1 ; 8 = 4.2 , các hệ số này có sự gắn bó mật thiết với các hệ số trong biểu thức E. Nên ta có thể đẩy điều kiện (1) về dạng \(2\frac{1}{a}+4\frac{2}{b}+7\frac{3}{c}\le2.\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{3}{c}\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{3}{c}\)(x,y,z > 0)
Lúc này điều kiện bài toán trở thành \(2x+4y+7z\le2xyz\)(2)và E = x + y + z.
\(\left(2\right)\Leftrightarrow2x+4y\le z\left(2xy-7\right)\Leftrightarrow z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)(2)
Áp dụng bđt AM - GM:
\(x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}=x+\frac{2xy-7+7}{2x}+\frac{2x+\left(2xy-7\right)\frac{2}{x}+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)
\(=x+\frac{11}{2x}+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)
\(\ge x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{\frac{2xy-7}{2x}.\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}}\)
\(\ge x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)
Lúc đó ta có \(E\ge x+\frac{11}{x}+2\sqrt{1+\frac{y}{x^2}}\)
Theo bất đẳng thức BSC ta có
\(3+\frac{7}{x}=\left(3+\sqrt{7}.\frac{\sqrt{7}}{x}\right)^2\le\left(9+7\right)\left(1+\frac{7}{x^2}\right)\)\(=16\left(1+\frac{7}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}=\sqrt{4\left(1+\frac{7}{x^2}\right)}\ge\frac{1}{2}\left(3+\frac{7}{x}\right)\)
Do đó \(E\ge x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2}\left(3+\frac{7}{x}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}+\left(x+\frac{9}{2}\right)\ge\frac{3}{2}+2\sqrt{x.\frac{9}{2}}\ge\frac{15}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
Tham khảo:Inequality 38 | The Simplest Solution Is The Best Solution
