Question

Cho hàm số y = f x  có đạo hàm f ' x = x − 1 2 x 2 − 2 x ,  với mọi x ∈ ℝ .  Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f x 2 − 8 x + m  có 5 điểm cực trị?

A. 16

B. 17

C. 15

D. 18

Answer 1

Đáp án C.

Ta có:

g ' x = 2 x − 8 f ' x 2 − 8 x + m = 0 ⇔ x = 4 f ' x 2 − 8 x + m = 0      ( * ) .

Mà:

f ' x = x − 1 2 x 2 − 2 x = x − 1 2 . x x − 2 ;   ∀ x ∈ ℝ .

Suy ra (*)

⇔ x 2 − 8 x + m − 1 2 x 2 − 8 x + m x 2 − 8 x + m − 2 = 0 ⇔ x 2 − 8 x + m − 1 = 0    1 x 2 − 8 x + m = 0           2 x 2 − 8 x + m − 2 = 0    3

Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi:

TH1. (1) có nghiệm kép x = 4 ,  (2), (3) có 2 nghiệm phân biệt.

TH2. (1) không có nghiệm kép x = 4 ,  (2), (3) có 2 nghiệm phân biệt.

Khi đó m < 16  là các giá trị thỏa mãn. Kết hợp m ∈ ℤ + ⇒  có 15 giá trị m cần tìm.