Question

Cho hàm số y = a x 4 + b x 2 + c  có đồ thị (C), biết rằng (C)  đi qua điểm A − 1 ; 0 . Tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0, x=2 bằng 28 5  (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x= -1, x=0 có diện tích bằng

A. 2 5

B. 1 9

C. 2 9

D. 1 5

Answer 1

Đáp án D.

Ta có  y ' = 4 a x 3 + 2 b x → y ' − 1 = − 4 a − 2 b   . Phương trình tiếp tuyến của  (C) tại điểm  A − 1 ; 0  là đường thẳng

d : y = y ' − 1 . x + 1 ⇔ y = − 4 a − 2 b x − 4 a − 2 b

 

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

  a x 4 + b x 2 + c = − 4 a + 2 b x − 4 a − 2 b ⇔ a x 4 + b x 2 + 4 a + 2 b x + 4 a + 2 b + c = 0 (*)

Quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị  tại hai điểm có hoành độ   x = 0, x = 2 nên phương trình (*) có hai nghiệm x = 0, x = 2 .

Suy ra  

4 a + 2 b + c = 0 16 a + 4 b + 2 4 a + 2 b + 4 a + 2 b + c = 0 ⇔ 4 a + 2 b + c = 0 28 a + 10 b + c = 0  (1)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, đồ thị (C) và hai đường thẳng   x = 0, x = 2 là  

  S = ∫ 0 2 − 4 a − 2 b x − 4 a − 2 b − a x 4 + b x 2 + c d x = 28 5

  ⇔ ∫ 0 2 − 4 a − 2 b x − 4 a − 2 b − a x 4 − b x 2 − c d x = 28 5

⇔ − a 5 x 5 − b 3 x 3 − 2 a + b x 2 − 4 a + 2 b + c x 0 2 = 28 5

  ⇔ − 32 5 a − 8 b 3 − 4 2 a + b − 2 4 a + 2 b + c = − 28 5 ⇔ 112 5 a + 32 3 b + 2 c = 28 5 ( 2 )

Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta tìm được: a = − 1, b = 3, c = − 2 .

Suy ra C : y = − x 4 + 3 x 2 − 2  và d : y = − 2 x − 2 . Diện tích hình phẳng cần tính là:

S = ∫ − 1 0 − x 4 + 3 x 2 − 2 − − 2 x − 2 d x = ∫ − 1 0 − x 4 + 3 x 2 + 2 x d x = ∫ − 1 0 x 4 − 3 x 2 − 2 x d x  

  = x 5 5 − x 3 − x 2 − 1 0 = 1 5 (đvdt).