Đáp án C.
y ' = x 2 − 2 2 m + 1 x − m ; y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 2 m + 1 x − m = 0 (*).
Δ ' = 2 m + 1 2 + m = 4 m 2 + 5 m + 1
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó hai điểm cực trị x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (*).
Xét các trường hợp sau:
+ Phương trình (*) có nghiệm bằng 0 ⇒ m = 0 .
Với m = 0 , (*) trở thành x 2 − 2 x = 0 ⇔ x 1 = 0 x 2 = 2 , không thỏa mãn x 1 < x 2 mà x 1 > x 2 .
+ Phương trình (*) có nghiệm 0 < x 1 < x 2 . Khi đó x 1 < x 2 nên trường hợp này không thỏa mãn.
+ Phương trình (*) có nghiệm x 1 < 0 < x 2 .
Khi đó ta có
x 1 > x 2 ⇔ − x 1 > x 2 ⇔ x 1 + x 2 < 0
Vậy điều kiện cho trường hợp này là
P < 0 S < 0 ⇔ − m < 0 2 2 m + 1 < 0 ⇔ m > 0 m < − 1 2
hệ này vô nghiệm.
+ Phương trình (*) có nghiệm x 1 < x 2 < 0 . Khi đó ta có ngay x 1 > x 2 .
Vậy điều kiện cho trường hợp này là
Δ ' > 0 P > 0 S < 0 ⇔ 4 m 2 + 5 m + 1 > 0 − m > 0 2 2 m + 1 < 0 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 1 ∪ − 1 4 ; + ∞ m < 0 m < − 1 2 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 1
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
