Question

Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4 ; 8  và f x ≠ 0 ∀ x ∈ 4 ; 8 .  Biết rằng ∫ 4 8 f ' x 2 f x 4 d x = 1  và f 4 = 1 4 , f 8 = 1 2 . Tính f 6 .

A.  5 8 .

B.  2 3 .

C.  3 8 .

D.  1 3 .

Answer 1

Đáp án D.

Ta có: 

∫ 4 8 f ' x f x 2 d x = ∫ 4 8 f x − 2 d f x = f x − 1 − 1 4 8 = − 1 f 8 + 1 f 4 = − 2 + 4 = 2.

Gọi k là 1 hằng số thực. Xét

∫ 4 8 f ' x f 2 x + k 2 d x = ∫ 4 8 f ' x 2 f x 4 d x + 2 k ∫ 4 8 f ' x f 2 x d x + k 2 ∫ 4 8 d x = 1 + 2 k . k + 4 k 2 = 2 k + 1 2 .

Chọn k = − 1 2 ,  ta có ∫ 4 8 f ' x f 2 x − 1 2 2 d x = 0 ,  mà f ' x f 2 x − 1 2 2 ≥ 0  nên  f ' x f 2 x − 1 2 2 = 0 ⇔ f ' x f 2 x = 1 2

⇒ ∫ f ' x f 2 x d x = x 2 + C ⇒ − 1 f x = x 2 + C .

 Với x =   4 , ta có

− 1 f 4 = 2 + C ⇔ − 4 = 2 + C ⇔ C = − 6.

Do đó: f x = − 1 x 2 − 6 = 2 12 − x .  Do đó  f 6 = 2 12 − 6 = 2 6 = 1 3 .