Bđt tương đương:
\(\frac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\frac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\frac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\frac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)(luôn đúng do \(x,y\ne0\))
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=a^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\)
Dễ dàng chứng minh được: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)nên \(a^2\ge4\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\left(1\right)\)
Ta thấy: bđt tương đương với \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le1\end{cases}}\left(2\right)\)
Từ (1) suy ra (2) . Vậy bài toán được chứng minh
vid x,y là số thực nên ko dùng đc bđt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
Xét hiệu:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{y}\right)=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3\frac{x}{y}-3\frac{y}{x}\)
\(=\frac{x^2}{y^2}-3\frac{x}{y}+\frac{9}{4}+\frac{y^2}{x^2}-3\frac{y}{x}+\frac{9}{4}-2.\frac{9}{4}+4\)
\(=\left(\frac{x}{y}-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{x}-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\)
Vì\(\left(\frac{x}{y}-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x;y\)và \(\left(\frac{y}{x}-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x;y\)nên \(\left(\frac{x}{y}-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{x}-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\ge0\forall x;y\)
(Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y)
Do đó \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
