Question

Cho hai số dương a và b thỏa mãn: a+b=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{ab}.40\left(a^4+b^4\right)\)

Giúp mình với ạ, mình cần gấp ạ)):

Answer 1

Có: \(1=\left(a+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1+1\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)

Theo bđt Bunhiacopxki có: \(\left(\text{ax}+by\right)\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi ay=bx

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b=1/2

Khi đó : \(P=1:\frac{1}{4}+40.\frac{1}{8}=9\)

Answer 2

một cách khác :))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(a^4+b^4=\frac{a^4}{1}+\frac{b^4}{1}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)(1)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)(3)

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)=> \(\frac{1}{ab}\ge4\)(4)

Từ (3) và (4) => \(P=\frac{1}{ab}\cdot40\left(a^4+b^4\right)\ge4\cdot40\cdot\frac{1}{8}=20\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1/2

Vậy MinP = 20

Answer 3

Cách khác mà kết quả khác vậy, vậy cái nào mới đúng?

Answer 4

tao đúng vì tao nhờ thầy check rồi :P

mày bấm máy xem ra cái nào thì cái đấy đúng :v 

Answer 5

Thay dấu bằng vào mà bấm :)) 

Answer 6

bạn chỉ cần a^4 + b^4 >= ab ( a^2 + b^2 ) 

triệt tiêu ab rồi dùng svac để xử lí a^2 + b^2 là xong nhé 

còn bài của bạn Quỳnh Alice thì sai rồi 

Answer 7

Cảm ơn anh em giúp nhá, ui cảm động vì anh em nhiệt tình quá:3333