Question

Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tim giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=(a²-ab+b²):(a²+ab+b²)

Answer 1

Lời giải:

\(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\\ \Rightarrow Q(a^2+ab+b^2)=a^2-ab+b^2\)

$\Leftrightarrow a^2(Q-1)+a(Qb+b)+(Qb^2-b^2)=0(*)$

Vì $Q$ tồn tại nên PT $(*)$ luôn có nghiệm.

Điều này xảy ra khi:

$\Delta=(Qb+b)^2-4(Q-1)(Qb^2-b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow b^2(Q+1)^2-4b^2(Q-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (Q+1)^2-4(Q-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (Q+1-2Q+2)(Q+1+2Q-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (3-Q)(3Q-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq Q\leq 3$

$\Rightarrow Q_{\min}=\frac{1}{3}; Q_{\max}=3$