Bài 2: Cực trị hàm số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Ngô Minh Ngọc

Cho f(x)=2/3x3+(cosa−3sina)x2−8(1+cosa)x+1

a) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2. Chứng minh rằng x12+x22≤18

Lê Thành Công
25 tháng 3 2016 lúc 10:33

a) Xét phương trình \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)

Ta có \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2a\ge0\) với mọi a

Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lĩ)

Vậy \(\Delta'>0\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a;x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)\)

                                                 \(=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)

                                  \(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2\)   

                                  \(=18-\left(3\sin a+\cos a\right)^2\le18\)          


Các câu hỏi tương tự
Trương Quang Đức
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Mai Xuân Bình
Xem chi tiết
Tịnh lộ Đoàn vũ
Xem chi tiết
Đoàn Thị Hồng Vân
Xem chi tiết
An Hoài Nguyễn
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết