Question

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I( I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC( E khác B và C), Ae cắt CD tại F. Chứng minh:

a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) AE.AF = AC².

c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac CEF luôn thuộc đường thẳng cố định.

Answer 1

a, Ta có góc FIB=90° (gt) góc FEB= góc AEB=90° (góc ntiêp chắn nửa đg tròn) => góc FIB+FEB=180° => Tứ giác BEFI nội tiếpb) Xét tam giác AFC và tam giác ACE có: góc CAE chung Do AO vuông góc vs CD => cung AC=cung AD mà góc ACD=1/2 sđ cung AD; Góc CEA=1/2 sđ Cung AC => góc ACD=CEA (chăn 2 cung =nhau) => tam giác AFC đồng dạng với tam giác ACE (g.g) => AE/AC=AC/AF => AE.AF=AC^2 (đpcm)c, Có ^ACF = ^CBA (phụ ^ICB) . Trong (O) có ^ACF = ^CEF (chắn hai cung bằng nhau AC và cung AD) vậy ^ACF = ^CEF < 90 nên AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF suy ra tâm của đường tròn đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEF thuộc đường vuông góc AC tại C nên tâm thuộc AC cố định  

Answer 2

a) Tứ giác BEFI có: BFF = 90^o (gt)

BEF = BEA = 90^o

=> Tứ giác BEFI là nội tiếp đường tròn đường kính BF

b) 

Vì \(AB\perp CD\)nên AC = AD

=> ACF = AEC

Xét tam giác ACF và tam giác AEC có gốc chung A và ACF = AEC

=> Tam giác ACF song song với tam giác AEC => \(\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=> AE . AF = AC²

c) Theo câu b) ta có: ACF = AEC = > AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác CEF (1)

Mặt khác, ta có: ACB = 90^o (góc nội tiếp chứa đường tròn)

\(\Rightarrow AC\perp CB\)(2) 

Từ (1) và (2) => CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB cố định E thay đổi trên cung nhỏ BC.

Answer 3

giải câu c chi tiết được hôm