*Phần thuận:
- Gọi C là trung điểm OA.
- \(\Delta OAB\) có: C là trung điểm OA, M là trung điểm AB.
\(\Rightarrow\)CM là đường trung bình của \(\Delta OAB\).
\(\Rightarrow\)\(CM=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{R}{2}\).
- Vì \(OA\) cố định nên điểm C cố định.
- Vậy M di chuyển trên đường tròn \(\left(C;\dfrac{R}{2}\right)\).
*Phần đảo:
- Lấy điểm M' bất kỳ trên \(\left(C;\dfrac{R}{2}\right)\).
- Qua O dựng đường thẳng song song với CM' cắt \(\left(O;R\right)\) tại B' (B' và M' cùng phía so với OA).
\(\Rightarrow CM'=\dfrac{OB'}{2}\)
- \(\Delta ACM'\) và \(\Delta AOB'\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACM'}=\widehat{AOB'}\\\dfrac{AC}{AO}=\dfrac{CM'}{OB'}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ACM'\sim\Delta AOB'\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CAM'}=\widehat{OAB'}\) mà B' và M' cùng phía so với OA.
\(\Rightarrow\)A, M', B' thẳng hàng.
\(\Rightarrow\dfrac{AM'}{AB'}=\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{1}{2}\)(\(\Delta ACM'\sim\Delta AOB'\))
\(\Rightarrow\)M' là trung điểm AB'.
- Vậy với điểm M' bất kỳ nằm trên \(\left(C;\dfrac{R}{2}\right)\) thì M' là trung điểm AB' (B' là giao của AM' và \(\left(O;R\right)\), B' và M' cùng phía so với OA).
*Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là \(\left(C;\dfrac{R}{2}\right)\).
