Question

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.M trên đường tròn (O). điểm D trên đoạn thẳng AM.BD cắt đường tròn (O) tại K( khác B).AK cắt BM tại C. CD cắt AB tại Q cmr: a) tam giác ABM vuông b)tam giác ABk vuông 
1)CD⊥AB
$A{K}^2+A{M}^2+B{K}^2+B{M}^2=8R^2$
 

Answer 1

Để chứng minh tam giác ABM vuông, ta cần chứng minh rằng đường cao của tam giác ABM đi qua tâm O của đường tròn (O).

Giả sử đường cao của tam giác ABM cắt AB tại điểm H. Ta cần chứng minh OH là đường cao của tam giác ABM.

Vì tam giác ABM có đường kính AB nên ta có:

AH = BH = AB/2 (vì AHB là tam giác cân)

Vì tam giác ABM có đường cao OH nên ta có:

AM^2 = AH^2 + HM^2

BM^2 = BH^2 + HM^2

Từ đó suy ra:

AM^2 + BM^2 = AH^2 + BH^2 + 2HM^2

Vì AH = BH nên ta có:

AM^2 + BM^2 = 2AH^2 + 2HM^2

Nhưng ta biết rằng:

AH^2 + HM^2 = OH^2 (vì tam giác AOH vuông tại O)

Vậy:

AM^2 + BM^2 = 2OH^2

Từ đó suy ra:

AM^2 + BM^2 = 2R^2 (với R là bán kính đường tròn (O))

Điều này chỉ ra rằng đường cao OH của tam giác ABM là đường cao đi qua tâm O của đường tròn (O), từ đó suy ra tam giác ABM là tam giác vuông tại M.

Để chứng minh tam giác ABK vuông, ta cần chứng minh rằng đường cao của tam giác ABK đi qua tâm O của đường tròn (O).

Giả sử đường cao của tam giác ABK cắt AB tại điểm H'. Ta cần chứng minh OH' là đường cao của tam giác ABK.

Vì tam giác ABK có đường kính AB nên ta có:

AH' = BH' = AB/2 (vì AHB' là tam giác cân)

Vì tam giác ABK có đường cao OH' nên ta có:

AK^2 = AH'^2 + KH'^2

BK^2 = BH'^2 + KH'^2

Từ đó suy ra:

AK^2 + BK^2 = AH'^2 + BH'^2 + 2KH'^2

Vì AH' = BH' nên ta có:

AK^2 + BK^2 = 2AH'^2 + 2KH'^2

Nhưng ta biết rằng:

AH'^2 + KH'^2 = OH'^2 (vì tam giác AOH' vuông tại O)

Vậy:

AK^2 + BK^2 = 2OH'^2

Từ đó suy ra:

AK^2 + BK^2 = 2R^2 (với R là bán kính đường tròn (O))

Điều này chỉ ra rằng đường cao OH' của tam giác ABK là đường cao đi qua tâm O của đường tròn (O), từ đó suy ra tam giác ABK là tam giác vuông tại K.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác ABM và tam giác ABK đều là tam giác vuông.