Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và C là điểm thuộc (O) \(C\ne A;C\ne B;CA>CB\). Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B
a. Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông
b. Gọi M là trung điểm của AC. Vẽ CH\(\perp AB\)tại H. Chứng minh: O,M,C,H cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này
c. Tia AC cắt d tại E. Chứng minh EC.EA = EO2 - R2
d. Gọi N là trung điểm CH; tia AN cắt d tại F. Chứng minh FC là tiếp tuyến của đường tròn(I)
a) Ta thấy \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AB. Vậy nên \(\widehat{ACB}=\frac{sđ\widebat{AB}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
b) Do M là trung điểm của dây cung AC. Theo tính chất đường kính, dây cung, ta có \(OM\perp AC\)
Xét tứ giác OMCH có \(\widehat{OMC}=\widehat{OHC}=90^o\) nên OMCH là tứ giác nội tiếp.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên có đường kinh là OC nên tâm I của đường tròn là trung điểm OC.
c) Xét tam giác vuông ABE có đường cao BC. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(EC.EA=BE^2\)
Xét tam giác vuông BCE, theo định lý Pi-ta-go, ta có:
\(BE^2=OE^2-OB^2=OE^2-R^2\)
Vậy ta có ngay \(EC.EA=OE^2-R^2\)
d) Ta thấy CH // BE nên áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{NH}{BF}=\frac{NC}{FE}\left(=\frac{AH}{AB}\right)\)
Lại có NH = HC nên BF = FE
Xét tam giác vuông BCE có CF là trung tuyến ứng vớ cạnh huyền nên FC = FB.
Vậy thì \(\Delta OCF=\Delta OBF\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^o\)
hay CF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
