Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đường kính của (O) và (O'), DE là tiếp tuyến chung ngoài của (D thuộc (O), E thuộc (O')). AD cắt BE tại M.
a) Tam giác MAB là hình gì?
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung chung của (O) và (O').
c) Chứng minh IC là phân giác ngoài của tam giác AIB.
a: Ta có: OD⊥ ED
O'E⊥ DE
Do đó: OD//O'E
=>\(\hat{DOO^{\prime}}+\hat{EO^{\prime}O}=180^0\)
ΔODC cân tại O
=>\(\hat{OCD}=\frac{180^0-\hat{COD}}{2}\)
ΔO'CE cân tại O'
=>\(\hat{O^{\prime}CE}=\frac{180^0-\hat{EO^{\prime}C}}{2}\)
Ta có: \(\hat{OCD}+\hat{O^{\prime}CE}=\frac{180^0-\hat{COD}}{2}+\frac{180^0-\hat{EO^{\prime}C}}{2}\)
\(=\frac{360^0-180^0}{2}=90^0\)
Ta có: \(\hat{OCD}+\hat{DCE}+\hat{ECO^{\prime}}=180^0\)
=>\(\hat{DCE}=180^0-90^0=90^0\)
Xét tứ giác MDCE có \(\hat{MDC}=\hat{MEC}=\hat{DCE}=90^0\)
nên MDCE là hình chữ nhật
=>\(\hat{DME}=90^0\)
=>\(\hat{AMB}=90^0\)
=>ΔMAB vuông tại M
b: Gọi I là giao điểm của MC và DE
MDCE là hình chữ nhật
=>MC cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm chung của DE và MC
MDCE là hình chữ nhật
=>MC=DE
mà \(MI=IC=\frac{MC}{2};EI=ID=\frac{ED}{2}\)
nên MI=IC=EI=ID
Xét ΔODI và ΔOCI có
OD=OC
DI=CI
OI chung
Do đó: ΔODI=ΔOCI
=>\(\hat{ODI}=\hat{OCI}\)
=>\(\hat{OCI}=90^0\)
=>CI⊥AB tại C
=>MC⊥AB tại C
=>MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O')
