Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm BC.
a) Cm A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Kẻ đường kính BD của (O), vẽ CK ⊥ BD. Cm AC × CD = CK × AO
c) Tia AO cắt (O) theo thứ tự tại M, N. Cm MH × AN = AM × HN.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OH là đường trung tuyến
nên OH là trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra O,H,A thẳng hàng
b: Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD
Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OA là đường trung trực của BC
nên OA là phân giác của góc BOC
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
Ta có: OH là trung trực của BC
=>OH\(\perp\)BC
mà BC\(\perp\)CD
nên OH//CD
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{BDC}\)(hai góc đồng vị)
mà \(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
nên \(\widehat{COA}=\widehat{BDC}\)
Xét ΔACO vuông tại C và ΔCKD vuông tại K có
\(\widehat{COA}=\widehat{KDC}\)
Do đó: ΔACO đồng dạng với ΔCKD
=>\(\dfrac{AC}{CK}=\dfrac{AO}{CD}\)
=>\(AC\cdot CD=CK\cdot AO\)
