Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) ( B là tiếp điểm) và đường kính BC. Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O) tại D và E sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AE (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.
a. Chứng minh tứ giác ABOH nội tiếp
b. Chứng minh AB2 = AD.AE
c. Gọi M là hình chiếu của B lên AO. Chứng minh góc AMD = góc DEO
a: Ta có; ΔODE cân tại O
mà OH là đường trung tuyến
nên OH\(\perp\)DE
Xét tứ giác ABOH có \(\widehat{ABO}+\widehat{AHO}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOH là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\widehat{ABD}=\widehat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\)
=>\(AB^2=AD\cdot AE\)
c: Xét ΔOBA vuông tại B có BM là đường cao
nên \(AM\cdot AO=AB^2\)
=>\(AM\cdot AO=AD\cdot AE\)
=>\(\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\)
Xét ΔAMD và ΔAEO có
\(\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\)
\(\widehat{MAD}\) chung
Do đó: ΔAMD~ΔAEO
=>\(\widehat{AMD}=\widehat{AEO}\)
