Question

Cho đường tròn (O), đường kính AB=2R. C là điểm trung của OA. Qua C, vẽ dây MN vuông góc với OA.

a) CM: AM=MO=OA

b) Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BN. CM: góc AKM= 30 độ và tg MBN đều.

c) Tìm vị trí điểm K để KM+KN+KB có giá trị lớn nhất.

Answer 1

a: Xét ΔMAO có

MC là đường cao

MC là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAO cân tại M

=>MA=MO

mà MO=OA

nên MA=MO=OA

b: Xét ΔOAM có MA=MO=OA

nên ΔOAM đều

=>\(\hat{AOM}=\hat{OAM}=\hat{OMA}=60^0\)

Xét (O) có

\(\hat{AKM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

=>\(\hat{AKM}=\frac12\cdot\hat{AOM}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

=>\(\hat{AMO}+\hat{BMO}=90^0\)

=>\(\hat{BMO}=90^0-60^0=30^0\)

ΔMAO cân tại M

mà MC là đường cao

nên MC là phân giác của góc AMO

=>\(\hat{AMC}=\hat{OMC}=30^0\)

\(\hat{BMC}=\hat{BMO}+\hat{CMO}=30^0+30^0=60^0\)

ΔOMN cân tại O

mà OC là đường cao

nên C là trung điểm của MN

Xét ΔBCM vuông tại C và ΔBCN vuông tại C có

BC chung

CM=CN

Do đó: ΔBCM=ΔBCN

=>BM=BN

Xét ΔBMN có BM=BN và \(\hat{BMN}=60^0\)

nên ΔBMN đều