Question

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M khác A , M khác Q , Q khác A . Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P . Chứng minh :

a) Tích BN.BM không đổi

b) Tứ giác MNPQ nội tiếp 

c) BĐT : BN + BP + BM + BQ > 8R

Answer 1

đường thằng (d) tiếp xúc với (O) tại A => D là tiếp tuyến của A

=> AM _|_ AB (tính chất tiếp tuyến) => tam giác AMB vuông A

lại có góc ANB=90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác ANB vuông tại N

xét tam giác vuông AMB và ANB có \(\widehat{B}\)chung

=> tam giác AMB đồng dạng với tam giác ANB => \(\frac{AB}{BM}=\frac{BN}{AB}\Rightarrow AB^2=BN\cdot BM\)

mà AB=2R không đổi => AB²=4R² không đổi => BM.BN=4R² không đổi

b) ta có \(\widehat{AQP}=\frac{1}{2}\left(sđAB-sđAP\right)=\frac{1}{2}sđPB\)(định lý góc côc định ngoài đường tròn)

lại có \(PNB=\frac{1}{2}sđPB\)(tính chất góc nội tiếp) => \(AQP=PNB\left(=\frac{1}{2}sđPB\right)\)

hay \(\widehat{MQP}=\widehat{PNB}\)mà \(\widehat{MNP}+\widehat{PNB}=180^o\)(kề bù) => ^MQP=^MNP=180⁰

=> tứ giác MNPQ nội tiếp 

c) áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương ta có:

\(BM+BN\ge2\sqrt{BM\cdot BN}=2\sqrt{4R^2}=4R\)

dấu "=" xảy ra khi BM=BN <=> M trùng với N trái với giả thiết => BM+BN >4R(1)

chứng minh tương tự ta có BP+BQ >4R (2)

từ (1) và (2) => BM+BN+BP+BQ >8R (đpcm)