Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A,B).Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B,C).Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E,tia AC cắt tia BE tại điểm F
a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE,chứng minh rằng IC là tiếp tuyến đường tròn (O) .
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>BC\(\perp\)FA tại C
Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>AE\(\perp\)FB tại E
Xét ΔFAB có
BC,AE là các đường cao
BC cắt AE tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔFAB
=>FD\(\perp\)AB tại H
Xét tứ giác FCDE có \(\widehat{FCD}+\widehat{FED}=90^0+90^0=180^0\)
nên FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính FD(1)
b: Xét ΔDCA vuông tại C và ΔDEB vuông tại E có
\(\widehat{CDA}=\widehat{EDB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDCA~ΔDEB
=>\(\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DA}{DB}\)
=>\(DB\cdot DC=DA\cdot DE\)
c: Từ (1) suy ra I là trung điểm của FD và IC=ID=IE=IF
IC=ID
=>ΔICD cân tại I
=>\(\widehat{ICD}=\widehat{IDC}\)
=>\(\widehat{ICD}=\widehat{HDB}\)
mà \(\widehat{HDB}=\widehat{BAC}\left(=90^0-\widehat{CBA}\right)\)
nên \(\widehat{ICD}=\widehat{BAC}\)
\(\widehat{OCI}=\widehat{OCD}+\widehat{ICD}\)
\(=\widehat{OBC}+\widehat{CAB}=90^0\)
=>IC là tiếp tuyến của (O)
