Cho đường tròn (O) có bán kính R và điểm C nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A, B (A nằm giữa C và O). Kẻ tiếp tuyến CM đến đường tròn (M là tiếp điểm). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt CM tại E và tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt CM tại F.
1. Chứng minh tứ giác AOME nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh góc AOE = góc OMB và CE.MF = CF.ME
3. Tìm điểm N trên đường tròn (O) (N khác M) sao cho tam giác NEF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R, biết góc AOE = 30o
1)\(\widehat{OAE}=\widehat{OME}=90^o\)=>đpcm
2)\(\widehat{AOE}=\widehat{AME}=90^o-\widehat{OMA}=90^o-\widehat{MAO}=\widehat{OBM}\)
tam giác CMO có OE là phân giác trong(\(\widehat{AOE}=\widehat{OMB}=\widehat{OBM}=\widehat{EAM}=\widehat{EOM}\)) và OF là phân giác ngoài(OMFB nội tiếp và OMB cân ở O)=>đpcm(tính chất của đường phân giác)
3)Theo Pytago:
\(EF^2=OE^2+OF^2=\left(\frac{R}{cos\widehat{AOE}}\right)^2+\left(\frac{R}{cos\widehat{FOB}}\right)^2=R^2\left[\left(\frac{1}{cos30}\right)^2+\left(\frac{1}{cos60}\right)^2\right]\left(\widehat{FOB}=60^o\right)=\frac{16}{3}R^2\)\(\rightarrow EF=\frac{4\sqrt{3}}{3}R\)
Gọi NH là đường cao của tam giác NEF
\(S_{NEF}=\frac{1}{2}NH.EF\le\frac{1}{2}.NM.EF\le\frac{1}{2}.2R.\frac{4\sqrt{3}}{3}R=\frac{4\sqrt{3}}{3}R^2\)
Dấu bằng xảy ra khi NM là đường kính của (O)
