Question

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cố định trên d. Một đường tròn (M) luôn tiếp xúc với d tại điểm I cố định sao cho những tiếp tuyến với ( M ) vẽ từ A và B song song với nhau. Chứng minh rằng điểm M di động trên đường  tròn cố định

Answer 1

Gọi AC,BD lần lượt là tiếp tuyến kẻ từ A,B tới đường tròn (M). Theo giả thiết thì AC // BD.

Ta có AC vuông góc MC, AC // BD => MC vuông góc BD. Mà MD vuông góc BD nên C,M,D thẳng hàng

Suy ra CD là đường kính của (M) => ^CID chắn nửa đường tròn (M) => ^CID = 90⁰

Hay IC vuông góc ID (1). Ta lại có AI,AC là tiếp tuyến từ A tới (M) => AM là trung trực của IC

=> AM vuông góc IC (2). Tương tự BM vuông góc ID (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MA vuông góc MB => ^AMB = 90⁰ => M nằm trên đường tròn đường kính AB

Do A,B cố định nên đường tròn (AB) cố định. Vậy M luôn di động trên (AB) cố định (đpcm).

Lưu ý: Điểm I cố định hay di chuyển cũng không ảnh hưởng tới kết quả của bài toán.