a.
Ta có \(MA=MB\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OA=OB=R\)
\(\Rightarrow OM\) là trung trực của AB
\(\Rightarrow OM\perp AB\) tại H và H là trung điểm AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MOA với đường cao AH:
\(MA^2=MH.MO\) (1)
Xét hai tam giác MAC và MDA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMC}-chung\\\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\left(\text{cùng chắn AC}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MAC\sim\Delta MDA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\Rightarrow MA^2=MC.MD\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow MH.MO=MC.MD\Rightarrow\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\)
Xét 2 tam giác MHC và MDO có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\\\widehat{CMH}-chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MHC\sim\Delta MDO\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MHC}=\widehat{MDO}\) (3)
Mà \(\widehat{MHC}+\widehat{CHO}=180^0\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{MDO}+\widehat{CHO}=180^0\)
\(\Rightarrow CDOH\) nội tiếp
b.
Do CDOH nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{DCO}=\widehat{DHO}\) (cùng chắn DO)
Mà \(OC=OD=R\Rightarrow\Delta OCD\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{DCO}=\widehat{CDO}\)
\(\Rightarrow\widehat{CDO}=\widehat{DHO}\) hay \(\widehat{MDO}=\widehat{DHO}\)(4)
(3);(4) \(\Rightarrow\widehat{DHO}=\widehat{MHC}\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHD}+\widehat{DHO}=90^0\\\widehat{AHC}+\widehat{MHC}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{AHC}\)
\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\dfrac{1}{2}\widehat{CHD}\) (5)
CDOH nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{CHD}\) (cùng chắn CD) (6)
Đồng thời \(\widehat{AHC}=\widehat{BHE}\) (đối đỉnh) (7)
(5);(6);(7) \(\Rightarrow\widehat{BHE}=\dfrac{1}{2}\widehat{COD}\)
Trong đường tròn (O), ta có \(\widehat{CED}=\dfrac{1}{2}\widehat{COD}\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn CD)
\(\Rightarrow\widehat{BHE}=\widehat{CED}\)
\(\Rightarrow DE||AB\) (hai góc so le trong bằng nhau)
