Cho \(\Delta ABC\)\(\left(AB\ne AC;BC\ne AC\right)\)có đường cao BH ( H nằm giữa A và C ). Gọi các điểm D, E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC.
a, t/g BDEF là hình gì? Vì sao?
b, CM: hai điểm B và H đối xứng nhau qua DF.
c, Tìm điều kiện \(\Delta ABC\)để tứ giác BDEF là hình chữ nhật. Khi đó hãy tính diện tích tứ giác BDEF, biết AB = 3cm; DF = 2,5cm
Xét \(\Delta ABC\)có:
DB = DA (giả thiết)
AE = CE (giả thiết)
\(\Rightarrow DE\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(DE//BC\)(tính chất) \(\Rightarrow DE//BF\)(1)
Và \(2DE=BC\)(tính chất)
Mà \(2BF=BC\)(vì \(BF=CF\))
\(\Rightarrow2DE=2BF\Rightarrow DE=BF\)(2)
Xét tứ giác BDEF có: (1) và (2).
\(\Rightarrow BDEF\)là hình bình hành.
Vậy BDEF là hình bình hành.
b) Ta có : \(BH\perp AC\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\Delta HAB\)vuông tại H.
\(\Delta HAB\)vuông tại H có trung tuyến HD ứng với cạnh huyền AB.
\(\Rightarrow HD=BD\)
\(\Rightarrow D\)thuộc đường trung trực của BH (3).
Lại có \(BH\perp AC\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\Delta HBC\)vuông tại H.
\(\Delta HBC\)vuông tại H có trung tuyến HF ứng với cạnh huyền BC.
\(\Rightarrow HF=BF\)
\(\Rightarrow F\)thuộc đường trung trực của BH (4)
Từ (3) và (4).
\(\Rightarrow DF\)là đường trung trực của BH.
Do đó B đối xứng với H qua DF (điều phải chứng minh).
c) BDEF là hình bình hành (theo câu a).
Hình bình hành BDEF là hình chữ nhật.
\(\Leftrightarrow BD\perp BF\)\(\Leftrightarrow AB\perp BC\)
Xét \(\Delta ABC\)có \(AB\perp BC\)(chứng minh trên)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\)vuông tại B.
Cái từ "khi đó" tớ không biết BDEF là hình chữ nhật không?
Khi BDEF là hình chữ nhật.
Vì BDEF là hình chữ nhật.
Và DF, BE là 2 đường chéo.
\(\Rightarrow DF=BE\)(tính chất).
\(\Delta ABC\)vuông tại B có trung tuyến BE ứng với cạnh huyền AC.
\(\Rightarrow BE=\frac{AC}{2}\Rightarrow2BE=AC\)
Suy ra \(2DF=BC\)
\(\Rightarrow BC=2.2,5\)(thay số)\(\Rightarrow BC=5\left(cm\right)\)
Vì \(\Delta ABC\)vuông tại B
\(\Rightarrow AB^2+BC^2=AC^2\)(định lí Py-ta-go)\(\Rightarrow3^2+BC^2=5^2\)(thay số)
\(\Rightarrow BC^2+9=25\Rightarrow BC^2=16\)
\(\Rightarrow BC=4\left(cm\right)\)(vì BC > 0)
Vì \(AB=3cm\)\(\Rightarrow BD=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}=1,5\left(cm\right)\)
Vì \(BC=4cm\)\(\Rightarrow BF=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2\left(cm\right)\)
Vì BDEF là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow S_{BDEF}=BD.BF\)\(\Rightarrow S_{BDEF}=1,5.2\)(thay số)
\(\Rightarrow S_{BDEF}=3\left(cm^2\right)\)
Vậy \(\Delta ABC\)vuông tại B thì BDEF là hình chữ nhật . Khi đó với AB = 3cm, DF = 2,5 cm thì \(S_{BDEF}=3cm^2\) .
Xem tớ có đúng không?
