Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Vẽ về phía ngoài \(\Delta ABC\) các tam giác đều \(ABD\) và\(ACE\) . Gọi \(I\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\) . Chứng minh rằng:
1. \(\Delta ABE=\Delta ADC\)
2. \(DE=BE\)
3. \(\) \(\hat{EIC}=60^0\) và \(IA\) là tia phân giác của \(\hat{DIE}\)

Answer 1

1: ΔABD đều

=>AB=BD=AD và \(\hat{ABD}=\hat{ADB}=\hat{DAB}=60^0\)

ΔACE đều

=>AC=CE=AE và \(\hat{ACE}=\hat{AEC}=\hat{EAC}=60^0\)

\(\hat{EAB}=\hat{EAC}+\hat{BAC}=60^0+90^0=150^0\)

\(\hat{CAD}=\hat{CAB}+\hat{DAB}=90^0+60^0=150^0\)

Xét ΔEAB và ΔCAD có

EA=CA

\(\hat{EAB}=\hat{CAD}\)

AB=AD

Do đó: ΔEAB=ΔCAD

2: Gọi F là giao điểm của CA và DE

Ta có: \(\hat{FAD}+\hat{DAB}=\hat{FAB}\) (tia AD nằm giữa hai tia AB và AF)

=>\(\hat{FAD}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: \(\hat{CAE}+\hat{FAE}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{FAE}=180^0-60^0=120^0\)

\(\hat{EAD}=\hat{FAE}+\hat{FAD}=120^0+30^0=150^0\)

Xét ΔEAD và ΔEAB có

EA chung

\(\hat{EAD}=\hat{EAB}\left(=150^0\right)\)

AD=AB

Do đó: ΔEAD=ΔEAB

=>ED=EB

3: Ta có: ED=EB

mà EB=DC

nên DC=ED

ΔABE=ΔADC

=>\(\hat{ABE}=\hat{ADC};\hat{AEB}=\hat{ACD}\)

Xét tứ giác AICE có \(\hat{ACI}=\hat{AEI}\)

nên AICE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EIC}=\hat{EAC}=60^0\) và \(\hat{EIA}=\hat{ECA}=60^0\)

Xét tứ giác AIBD có \(\hat{ADI}=\hat{ABI}\)

nên AIBD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AID}=\hat{ABD}=60^0\)

=>\(\hat{EIA}=\hat{DIA}\)

=>IA là phân giác của góc EID