Cho \(\Delta ABC\). Trên tia đối tia BC lấy điểm M sao cho BM=BA, trên tia đối tia CB lấy điểm N sao cho CN=CA. Qua B, kẻ \(BH\perp AM\). Qua C, kẻ \(CK\perp AN\) (\(H\in AN\), \(K\in AN\)). Gọi O là giao điểm BH và CK. CMR:
a) O nằm trên đường trung trực của MN
b) AO là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)
$BH, CK$ cùng vuông góc với $AN$ thì nó song song nhau. Như vậy thì $BH, CK$ làm sao giao nhau tại $O$ được?
Lời giải:
a. Vì $BA=BM$ nên tam giác $MBA$ cân tại $B$. Khi đó, đường cao $BH$ đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow H$ là trung điểm $AM$.
Tam giác $MOA$ có $OH$ đồng thời là đường cao đồng thời là trung tuyến (do $H$ là trung điểm $AM$) nên đây là tam giác cân tại $O$
$\Rightarrow OM=OA(1)$
Hoàn toàn tương tự, ta cm được $\triangle OAN$ cân tại $O$
$\Rightarrow ON=OA(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow OM=ON$ nên $O$ nằm trên đường trung trực của $MN$
b.
Vì $OAM$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{OMA}(3)$
Vì $BMA$ cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BMA}(4)$
Lấy $(3)-(4)$ thì $\widehat{OAB}=\widehat{OMB}(*)$
Tương tự: $\widehat{OAC}=\widehat{ONC}(**)$
Vì $OM=ON$ nên $OMN$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{ONC}(***)$
Từ $(*); (**); (***)\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OAC}$
$\Rightarrow OA$ là phân giác $\widehat{BAC}$
