Câu hỏi của Hải Anh

Question

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O) , AB>AC, M là trung điểm của BC. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt cạnh BC tại D, cắt (O) tại điểm thứ 2 là E. Tia phân giác trong và ngoài của $\widehat{ABC}$...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

a) Thấy $BI,BJ$ là hai phân giác của hai góc kề bù nên $BI\perp BJ\Rightarrow \angle IBJ=90^0$

Tương tự $\angle ICJ=90^0$. Do đó $\angle IBJ+\angle ICJ=180^0$ nên $BICJ$ nội tiếp

b)

Để ý $\angle EBI=\angle \frac{A}{2}+\angle \frac{B}{2}=\angle BIE\Rightarrow \triangle BIE$ cân tại $E$ nên $IE=BE$

Khi đó$(\frac{IE}{ME})^2=(\frac{BE}{ME})^2=\frac{BM^2}{ME^2}+1=\cot ^2\frac{\angle EBC}{2}=1+\cot^2\frac{A}{2}=\frac{1}{\sin^2 \frac{A}{2}}(1)$

Theo công thức bán kinh đường tròn bàng tiếp:

$(\frac{JA}{NJ})^2=(\frac{JA}{JK})^2=\frac{1}{\sin ^2\frac{A}{2}}(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow \frac{IE}{ME}=\frac{JA}{NJ}$. Kết hợp với $\angle MEI=\angle NJI\Rightarrow \triangle MEI\sim \triangle NJA$

$\Rightarrow \angle EIM=\angle JAN\Rightarrow IM\parallel AN$ (đpcm)

c) Nhìn hình thức xấu quá, hên xui vậy

Ta có $\triangle ICJ\sim \triangle BNJ\Rightarrow IC=\frac{CJ.BN}{NJ}$

Tứ giác $NCKJ$ nội tiếp nên theo định lý Ptoleme $NK=\frac{2NC.NJ}{CJ}$

$\Rightarrow IC.NK=2BN.NC$

Biết rằng $JK=r_A=p\tan\frac{A}{2}\rightarrow AK=p\rightarrow NC=CK=p-b\rightarrow BN=p-c$

$\rightarrow IC.NK=2(p-b)(p-c)$

$\left\{\begin{matrix}
\frac{ID}{DA}=\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DJ}=\frac{IE}{AJ}\

\frac{ID}{DA}=\frac{DM}{DN}=\frac{ME}{NJ}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{ID^2}{DA^2}=\frac{IE^2-ME^2}{JA^2-NJ^2}=\frac{BM^2}{AK^2}=\frac{a^2}{4p^2}\Rightarrow\frac{ID}{DA}=\frac{a}{2p}$

$AK^2=p^2$. Mặt khác theo định lý hàm cos:

$AN^2=AB^2+BN^2-2AB.BN\cos\angle ABC=c^2+(p-c)^2-2c(p-c)\cos\frac{A}{2}$

Có đủ các dữ kiện rồi thì chỉ cần biến đổi đại số thôiCâu trả lời: Lời giải: