Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Dễ dàng chứng minh t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) => AB = CD
Xét t/g ACD có: AD < AC + CD
=> 2AM < AC + AB => AM < \(\frac{AB+AC}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(BN< \frac{AB+BC}{2};CF< \frac{CA+CB}{2}\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP< \frac{AB+AC+AB+BC+CA+CB}{2}=\frac{2\left(AB+AC+BC\right)}{2}=AB+AC+BC\) (1)
Gọi trọng tâm là G
Xét t/g GBC có: GB + GC > BC => \(\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP>BC\) => \(BN+CP>\frac{3}{2}BC\)
Tương tự ta có: \(AM+CP>\frac{3}{2}AC;AM+BN>\frac{3}{2}AB\)
=> BN + CP + AM + CP + AM + BN > \(\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC+\frac{3}{2}AB\)
=> 2(AM + BN + CP) > \(\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)\)
=> AM + BN + CP > \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)< AM+BN+CP< AB+BC+AC\) (đpcm)
