cho ΔABC cân tại A . Mϵ tia đối của tia BC , N ϵ tia đối của tia CB, BM=CN . kẻ BE vuông góc với AM , CF vuông góc với AN
CM A) ΔBME=ΔCNF
B) EB và CF kéo dài cắt nhau tại O .cm AO là tia phân giác của góc MAN
c) qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM , qua N kẻ đường thẳng vuông với AN . cát nhau tại H .CM A-O-H thẳng hàng
a: Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
BM=CN
Do đó: ΔABM=ΔACN
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) và AM=AN
Xét ΔBME vuông tại E và ΔCNF vuông tại F có
BM=CN
\(\widehat{BME}=\widehat{CNF}\)
Do đó: ΔBME=ΔCNF
b: Ta có: ΔBME=ΔCNF
=>\(\widehat{EBM}=\widehat{FCN}\)
mà \(\widehat{EBM}=\widehat{OBC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{FCN}=\widehat{OCB}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
=>OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC
=>AO\(\perp\)MN
Ta có: ΔAMN cân tại A
mà AO là đường cao
nên AO là phân giác của góc MAN
c: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có
AH chung
AM=AN
Do đó: ΔAMH=ΔANH
=>HM=HN
=>H nằm trên đường trung trực của MN(3)
ta có: AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(4)
Từ (3) và (4) suy ra AH là đường trung trực của MN
=>AH\(\perp\)MN
mà AO\(\perp\)MN
và AH,AO có điểm chung là A
nên A,H,O thẳng hàng
