Question

Cho đa thức bậc 2: P(x)=ax² + bx + c. CMR: nếu f(x)có giá trị nguyên khi x lấy giá trị nguyên bất kì thì các số thực 2a, a + b và c đều là các số nguyên và ngược lại

 

Answer 1

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

Thấy rằng: \(\hept{\begin{cases}P\left(0\right)=x\\P\left(1\right)=a+b+c\\P\left(-1\right)=a-b+c\end{cases}}\)

Do P(x) nguyên với mọi x nguyên nên P(0) = c là số nguyên.

Mặt khác: \(2\left(a+c\right)=P\left(1\right)+P\left(-1\right)\inℤ\Rightarrow2a\text{ là SN}\) 

P(1) nguyên c nguyên nên a + b nguyên

Ta có: \(P\left(x\right)=2ax^2+2\left(a+b\right)x+2c-2ax\) (1)

Nhận thấy VP(1) là số chẵn với mọi x nguyên và 2a; a + b; c nguyên nên => đpcm

Answer 2

bn ơi sao ở trên P(0)=x mà ở dưới lại suy ra đc P(0)=c vậy, c không = x mà