làm như giỏi lắm í, thôi khỏi nói cũng biết, ko cần thể hiện đâu
\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)
\(=\frac{a+b+c}{\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}}\)
Ta có: \(\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}\)
\(=\sqrt{ab+bc+ac+a^2}+\sqrt{ab+bc+ac+b^2}+\sqrt{ab+bc+ca+c^2}\)
\(=\sqrt{b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)}+\sqrt{b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\sqrt{b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{a+c+a+b}{2}+\frac{a+b+b+c}{2}+\frac{a+c+b+c}{2}\)
\(\le\frac{2a+a+2b+b+2c+c}{2}=\frac{3a+3b+3c}{2}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
Suy ra : \(A=\frac{a+b+c}{\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}}\ge\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0
Vậy Amin = \(\frac{2}{3}\)
Chắc sai. Mong bạn giúp đỡ. Cảm ơn!
Hình như đề là tìm min mới đúng chứ Incursion_03 ? nếu tìm max khúc cuối bđt nó sẽ đổi chiều thế này:
* Nếu là tìm max
Ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+a^2\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2=3^2=9\) (BĐT Bunhiaxcopki)
Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Mặt khác,ta lại có:
\(A^2=\frac{a^2}{3+a^2}+\frac{b^2}{3+b^2}+\frac{c^2}{3+c^2}\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{3}{3+a^2}+\frac{3}{3+b^2}+\frac{3}{3+c^2}\right)\)
\(=3-3\left(\frac{1}{3+a^2}+\frac{1}{3+b^2}+\frac{1}{3+c^2}\right)\)
\(\le3-\frac{27}{9+a^2+b^2+c^2}\ge3-\frac{27}{9+3}=\frac{3}{4}?!?\)
Suy ra \(A_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}?!?\)
Hồi nữa tui đăng bài tìm min lên sau.
Hay là bài nãy t làm sai?
Từ \(ab+bc+ca=3\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\) (biến đổi như bài trước)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=3+m\left(m\ge0\right)\)
\(A^2=\frac{a^2}{3+a^2}+\frac{b^2}{3+a^2}+\frac{c^2}{3+c^2}\)
\(=\left(3+3+3\right)-\left(\frac{9}{3+a^2}+\frac{9}{3+b^2}+\frac{9}{3+c^2}\right)\)
\(\le9-\frac{\left(3+3+3\right)^2}{9+a^2+b^2+c^2}=9-\frac{81}{9+a^2+b^2+c^2}\)
\(=9-\frac{81}{12+m}=\frac{27+9m}{12+m}\ge\frac{9}{4}?!?\)"vẫn thế,không thay đổi được gì"
Êy !! Làm này giờ mới nhận ra mình bình phương sai -> bài làm sai. Bỏ mấy bài nãy đi bạn nhé!
Hazzz, tìm max nhé ! Bài này là đề của sở nên ko sai đề đc :) t ngồi trong phòng thi nghĩ bài này trong 5' only !
Nhìn nhé !
\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+b}}.\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+c}}.\sqrt{\frac{c}{b+c}}\)
Áp dụng bđt Cô-si ngược ta đc
\(A\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}}{2}+\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}}{2}+\frac{\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}}{2}\)
\(=\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{c+a}\right)}{2}\)
\(=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\ab+bc+ca=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
