Question

Cho các số x, y, z thoả mãn đồng thời:

   x + y + z = 1; x² + y² + z² = 1 và x³ + y³ + z³  = 1

Tính tổng: S = x²⁰¹³ + y²⁰¹⁵ + z²⁰¹⁷ + 2019

Answer 1

Ta có:\(x^2=1-y^2-z^2\le1\Rightarrow-1\le x\le1\)

Tương tự:\(-1\le y\le1;-1\le z\le1\)

Lại có:\(x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)=0\)

Vì \(x\le1;y\le1;z\le1\) nên \(x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)\le0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,1\right)\) và các hoán vị

\(\Rightarrow S=2020\)