Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn: \(2\left(x^2+y^2\right)=1+xy\) . GTNN và GTLN của biểu thức \(P=7\left(x^4+y^4\right)+4x^2y^2\)

Answer 1

Làm phần min trước, Max để mai:

Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).

*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)

*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:

\(\ge0\)

P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D

Answer 2

Cách khác đơn giản hơn:

Đặt \(x+y=a;xy=b\Rightarrow a^2\ge4b\)

\(\Rightarrow2a^2-1=5b\) rồi rút thế các kiểu cho nó thành 1 biến là xong:D (em nghĩ vậy thôi chứ chưa thử)

Answer 3

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4xy\)    =>  \(xy\le\frac{1}{3}\)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)=2\left(x+y\right)^2-4xy\ge-4xy\) =>   \(xy\ge-\frac{1}{5}\)

=>  \(-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)

\(P=7.\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\right]+4x^2y^2\)

\(=7.\left(\frac{1+xy}{2}\right)^2-10x^2y^2=\frac{-33x^2y^2+14xy+7}{4}\)

đặt  \(t=xy\)

\(P=\frac{-33t^2+14t+7}{4}\)

........................

\(P_{min}=\frac{18}{25}\) tại  \(xy=-\frac{1}{5}\)

\(P_{max}=\frac{70}{33}\)  tại  \(xy=\frac{7}{33}\)