Question

Cho các số thực tùy ý a,b,c > 1. Tìm GTNN của biểu thức 

M=\(\frac{a^2}{a-1}\)+\(\frac{2b^2}{b-1}\)+\(\frac{2017c^2}{c-1}\)

Answer 1

Ta có \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\left(x-1\right).\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}\ge4\)(với x>1) Dấu '=' xảy ra khi x-2=0   <=> x=2 (TMĐK)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho a,b,c >1 ta được 

\(\frac{a^2}{a-1}\ge4\);  \(\frac{2b^2}{b-1}\ge2.4=8\);   \(\frac{2017c^2}{c-1}\ge2017.4=8068\)

Suy ra \(M=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{2017c^2}{c-1}\ge4+8+8068=8080\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=8080 khi a=b=c=2