Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
khong có

cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+x=3

Tìm gtnn của P = \(\dfrac{1}{2xy^2+1}+\dfrac{1}{2yz^2+1}+\dfrac{1}{zx^2+1}\)

Akai Haruma
14 tháng 6 2021 lúc 23:36

Lời giải:
\(P=\sum \frac{1}{2xy^2+1}=\sum (1-\frac{2xy^2}{2xy^2+1})\)

\(=3-2\sum\frac{xy^2}{2xy^2+1}\geq 3-2\sum \frac{xy^2}{3\sqrt[3]{x^2y^4}}\) theo BĐT AM-GM.

\(=3-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{xy^2}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt[3]{xy^2}\leq \frac{x+y+y}{3}\Rightarrow \sum \sqrt[3]{xy^2}\leq \frac{3(x+y+z)}{3}=3\)

$\Rightarrow P\geq 3-\frac{2}{3}.3=1$

Vậy $P_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$

 


Các câu hỏi tương tự
dinh huong
Xem chi tiết
Hoàng Khánh Chi
Xem chi tiết
Diệp Nguyễn Thị Huyền
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Khanh
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Việt
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Việt
Xem chi tiết
Khiêm Nguyễn Gia
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết