Question

Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 4 

                                       Chứng minh rằng \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)

Answer 1

chia 2 vế của 1 BĐT luôn đúng cho cùng 1 đa thức  thì chả luôn được 1 BĐT luôn đúng :)) chứng minh ngu l;z đ*o hiểu m` gõ ra có tác dụng gì còn con lợn Hoàng Phú Huy nhai lại cũng đ*o bt cái j 

Answer 2

Vì a,b dương

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}>\frac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}>\frac{4}{a+b}\)

Tới đây, bn sử dụng BĐT đó và giải ra.

Answer 3

thằng Lê Anh tú ko biết gì đừng giải bừa xấu mặt CTV

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (ez to prove) \(\Leftrightarrow\)\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)ta có:

\(VT\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2}=\frac{4}{\left(\frac{4}{2}\right)^2}=1=VP\)

P.s: ko hiểu thì ib

Answer 4

Vì a,b dương 

\(\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}>\frac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\) \(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}>\frac{4}{a+b}\) \)

Tới đây, bn sử dụng BĐT đó và giải ra. 

Answer 5

Giải ngu, mak bài đặt ak (https://olm.vn/thanhvien/thangbnsh)

Giải tiếp.

Dấu '=' xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng bđt trên ta có:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{xy+xz}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)

Mà x+y+z=4 Nên y+z=4-x >0

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(4-x\right)}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{-x^2+4x-4+4}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\)\(\frac{4}{-\left(x-2\right)^2+4}\left(1\right)\)

Vì y+z=4-x >0. Nên x(4-x)>0 

=> \(4\ge-\left(x-2\right)^2+4>0\) 

Do đó: \(\frac{4}{-\left(x-2\right)^2+4}\ge1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\xy=xz\\x+y+z=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)(thỏa mãn đk x,y,z>0)

Answer 6

xem hộ tau thg nào giải ngu ? tại sao m` suy ra a=b khi m` ko chứng minh nó mà mày lấy luôn 1 bđt luôn đúng rồi chia 2 vế cho cùng 1 số ? nó đ éo liên quan đến nhau ok ?và cách giải mày quá lôm côm chỉ cho những con gà normie mới học bđt zậy là ai ngu ?? :(

Answer 7

Ta có: \(x+y+z=4\Rightarrow y+z=4-x\)

Dễ c/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).Áp dụng vào,ta có:

\(VT\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}=\frac{4}{x\left(4-x\right)}\) (1)

Mặt khác,theo Cô si,ta có: \(x\left(4-x\right)\le\left(\frac{x+\left(4-x\right)}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2=4\)

Do đó: \(\frac{4}{x\left(4-x\right)}\ge\frac{4}{4}=1=VP\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.