Question

cho các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)

Chứng minh rằng \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\)

Answer 1

\(\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)\le\left(\frac{4a+4b}{2}\right)^2=\left(2a+2b\right)^2\)

=>\(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)=a+b\)

Mình làm phần dễ nhất rồi, còn lại của bạn đó ^^

 

Answer 2

Đặt . Do đó . Cần chứng minh:

Or 

Bình phương 2 vế và xét hiệu, ta cần chứng minh:

Đó là điều hiển nhiên vì: 

Done.

Answer 3

eos bieets

Answer 4

rrrrrrrrrrrrrwqrd333rrrrrrrrrrrrreeerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrerrrrr3

Answer 5

xy^<₌1_/4(x+y)²=1_/4

Answer 6

Ko biết

Answer 7

hungakira  mobile

Answer 8

Đây là đề chuyên Thái Bình thì phải.

Ta có: \(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{4}\left(a+3b+b+3a\right)=a+b\)

(Theo Cauchy 2 số)

=> Ta cần phải CM BĐT sau: \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge a+b\)

<=> \(3\left(a+b\right)^2+4ab\ge2\left(a+b\right)\)(1)

Có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\left(GT\right)\)

<=> \(a+b+2\sqrt{ab}=1\)

<=> \(2\sqrt{ab}=1-\left(a+b\right)\)

<=> \(4ab=1-2\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2\)(2)

Từ (2) thế vào (1) nên bây giờ ta phải CM 1 BĐT sau: \(3\left(a+b\right)^2+1-2\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2\ge2\left(a+b\right)\)

<=> \(4\left(a+b\right)^2-4\left(a+b\right)+1\ge0\)

<=> \(\left(2a+2b-1\right)^2\ge0\)(*)

Mà BĐT (*) này luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Vậy \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b\).Mà \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)

<=>    \(a=b=\frac{1}{4}\).

Answer 9

hehehe tao là gia linh đỗngười ám ảnh trên mạng