tích mình đi
làm ơn
rùi mình
tích lại
thanks
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có :\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
.Dấu "=" xảy ra khi :\(\frac{a}{\frac{1}{a}}=\frac{b}{\frac{1}{b}}=\frac{c}{\frac{1}{c}}\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà \(a+b+c\le\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9:\frac{3}{2}=9.\frac{2}{3}=6\)
Vậy Min M = 6 <=> a = b = c
Bạn Phạm Tuấn Đạt sao không áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel luôn cho nhanh? Với lại nếu bạn chỉ ghi dấu "=" xảy ra khi a = b = c không thì chưa đủ vì theo đề bài \(a+b+c\le\frac{3}{2}\) nhé!
Ta có: \(M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Auto chứng minh BĐT phụ (cái này làm cho bạn hiểu thôi chứ trong bài làm chắc không cần!)
Chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: \(\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}^2\right)\right]\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
hay \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Vậy BĐT (1) là đúng!
Còn cách khác
Cần CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
Theo Cosi ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Áp dụng vào M ta có :
\(M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(M\) là \(6\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Chúc bạn học tốt ~
Bổ sung thêm 2 cách chứng minh khác cho BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel (cách dùng cosi của Phùng Minh Quân mình không hiểu lắm,nên mình chứng minh lại)
Cách 1: Áp dụng BĐT Cô si,ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2) được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Cách 2: Ta có BĐT quen thuộc : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\). Áp dụng 2 lần vào bài trên là ra ngay =)))
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}=\frac{2^2}{a+b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(2+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
