Question

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: 4(a+b+c)+abc≥13.

Giúp mình với!

Answer 1

Vì \(ab+bc+ac=3\)  =>   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x\):  \(\frac{1}{b}=y\):  \(\frac{1}{c}=z\)=> x+y+z=3xyz

Ta có   \(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{xyz}\ge13\)

AD BĐT  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) dấu = khi a=b=c ta có 

  \(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{36}{x+y+z}\)=\(\frac{36}{3xyz}=\frac{12}{xyz}\)

=> \(\frac{12}{xyz}+\frac{1}{xyz}\ge13\)

=>  \(\frac{13}{xyz}\ge13\)

mà \(3xyz=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)dấu = khi x=y=z 

=> xyz\(\le1\)

=> đpcm