Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tấn Sang Nguyễn

cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: 2/b = 1/a  + 1/c. Tìm GTNN của biểu thức: P= \(\dfrac{a+b}{2a-b}\) + \(\dfrac{c+b}{2c-b}\)

Minh Hiếu
16 tháng 9 2023 lúc 15:36

Ta có: \(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

\(\Rightarrow bc+ca=2ca\)

\(P=\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}=\dfrac{ac+bc}{2ca-bc}+\dfrac{ca+ab}{2ca-ab}\)

\(=\dfrac{ca+bc}{ab}+\dfrac{ca+ab}{bc}=\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}=\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\)

Ta có :

\(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{a+c}\left(\text{Svácxơ}\right)\)\(\Rightarrow c+a\ge2b\)

Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương

\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}=2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2b}{b}+2=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết
Nguyễn An
Xem chi tiết
Nguyễn Dương Thành Đạt
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
lý canh hy
Xem chi tiết