Question

cho các số thực dương a b c thở mãn abc=1. tìm gtnn của P=a^3+b^3/a^2+ab+b^2 + b^3+c^3/b^2+bc+c^2 + c^3+a^3/c^2+ac+a^2

Answer 1

Lời giải:
Ta có:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a^2+ab+b^2)-2ab]$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab\geq 2ab+ab=3ab$

$\Rightarrow 2ab\leq \frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}$

$\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab\geq a^2+b^2+ab- \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$

$\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{1}{3}(a+b)(a^2+ab+b^2)$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế thu được:

$P\geq \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$

$\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$

Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$

Answer 2

Lời giải:
Ta có:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a^2+ab+b^2)-2ab]$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab\geq 2ab+ab=3ab$

$\Rightarrow 2ab\leq \frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}$

$\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab\geq a^2+b^2+ab- \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$

$\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{1}{3}(a+b)(a^2+ab+b^2)$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế thu được:

$P\geq \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$

$\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$

Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$