Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 trong 3 số a,b,c cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc cùng bé hơn hoặc bằng 1. Giả sử 2 số đó là a,b, khi đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow ab\ge2-c\).
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]=27-3\left(3\left(ab+bc+ca\right)-abc\right)\left(1\right)\)
Có: \(3\left(ab+bc+ca\right)-abc=ab\left(3-c\right)+3c\left(a+b\right)=\left(3-c\right)\left(ab+3c\right)\ge\left(3-c\right)\left(2-c+3c\right)=2\left(3-c\right)\left(1+c\right)=2\left(2c-c^2+3\right)\ge6\)
Suy ra: \(a^3+b^3+c^3\le27-3.6=9\).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(0,1,2\right)\) và các hoán vị.
Vậy GTLN của P là 9.
