Question

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(0\le a,b,c\le1\)và \(a+b+c\ge2\).CMR:

\(ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\ge2\)

Answer 1

Vì \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\left(1-b\right)\le a\left(1-b\right)\\b^2\left(1-c\right)\le b\left(1-c\right)\\c^2\left(1-a\right)\le c\left(1-a\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-1\right)\)

Do \(a+b+c\ge2\Rightarrow a+b+c-1\ge1\Rightarrow VT\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi 1 trong 3 số a,b,c có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

Answer 2

bạn thử giải hộ mình mấy bài này vs

https://diendantoanhoc.net/topic/173087-to%C3%A1n-%C3%B4n-thi-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10/#entry681162

Answer 3

đây này

1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:

\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)

3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.

Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)

4,Cho a,b,c>0.

Tìm GTNN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)

Answer 4

kho ghe

Answer 5

Vì 0≤a,b,c≤1⇒{ a2(1−b)≤a(1−b) b2(1−c)≤b(1−c) c2(1−a)≤c(1−a) ⇒a2+b2+c2−(a2b+b2c+c2a)≤a+b+c−(ab+bc+ca) ⇒(a2b+b2c+c2a)+(a+b+c)≥a2+b2+c2+ab+bc+ca ⇒(a2b+b2c+c2a)+(ab+bc+ca)+(a+b+c)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⇒VT≥(a+b+c)2−(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c−1) Do a+b+c≥2⇒a+b+c−1≥1⇒VT≥2 Đẳng thức xảy ra khi 1 trong 3 số a,b,c có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0