Question

CHO CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG X Y THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN X²+y²+2xy-4x-2y+1=0.Chứng minh rằng x là số chẵn và x:2 là số chính phương

Answer 1

Ta có: x²+y²+2xy-4x-2y+1=0

      ⇔(x²+y²+2xy-2x-2y+1)-2x=0

      ⇔(x+y-1)²=2x

Mà (x+y-1)² là số chính phương

⇒2x là số chính phương

⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1

Mà 2x là số chẵn 

⇒2x chia hết cho 4

⇒x chia hết cho 2

⇒x là số chẵn(đpcm)

Lại có:(x+y-1)²=2x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\) =x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2

⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))²=x:2  

Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương

⇒x:2 là số chính phương (đpcm)