Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2a\)
\(a^2b^2+4\ge2\sqrt{4a^2b^2}=2\left|2ab\right|=4ab\)
\(a^2b^2c^2+16\ge2\sqrt{16a^2b^2c^2}=2\left|4abc\right|=8abc\)
Nhân vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Vì \(a\ge0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:
\(a^2+1\ge2a\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(a^2b^2+4\ge4ab\left(a,b\ge0\right)\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(a^2b^2c^2+16\ge8abc\left(a,b,c\ge0\right)\left(3\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)ta được:
\(\left(a^2+1\right)\left(a^2b^2+4\right)\left(a^2b^2c^2+16\right)\ge2a.4ab.8abc=64a^3b^2c\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=1\\a^2b^2=4\\a^2b^2c^2=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\ab=2\\abc=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=2\end{cases}}\)
Và \(a,b,c\ge0\)
Vậy \(\left(a^2+1\right)\left(a^2b^2+4\right)\left(a^2b^2c^2+16\right)\ge64a^3b^2c\)với \(a,b,c\ge0\).
