Question

Cho các số dươnga b c thõa măn a+b+c =1  .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p= \(\frac{ab}{c+1}\) +      \(\frac{bc}{a+1}\) + \(\frac{ca}{b+1}\) . Giúp  mình nhanh , mình cần gấp

Answer 1

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz: \(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{c+a+b+c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Chứng minh tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}\right)\\\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\end{cases}}\)

Cộng theo vế: \(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ac+bc}{a+b}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)