BĐT Bunnhiacopxki
Với mọi số a;b;x;y ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
BĐT này là BĐT Bunhiacopxki.
Chứng minh:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
<=> \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
<=> \(a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
<=> \(\left(ay-bx\right)^2\ge0\) điều này đúng nên BĐT được chứng minh
Dấu bằng xảy ra <=> \(ay=bx\) <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Bunhiacopxki
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta có nhiều cách
Cách 1 Xét hiệu
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(\text{ax}+by\right)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2abxy-b^2y^2\)
\(=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)
\(=\left(ay-bx\right)^2\ge0\)luôn đúng với mọi \(a,b,x,y\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(ay-bx=0\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\)
