Câu hỏi của Quỳnh Anh

Question

Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 36.CMR: a2 + b2 + c2 $\ge$27

Trí Tiên亗 · Accepted Answer

Cô-si đơn giản =) Có $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$Nên $a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)$$a+c\ge2\sqrt{ac}\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\ge4ac\left(2\right)$$c+b\ge2\sqrt{bc}\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\left(3\right)$Cộng (1), (2), (3) vế theo vế$\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc\ge4ab+4ac+4bc$$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$Mà Theo đề $a+b+c+ab+bc+ac=36$ (a=b=c=3)  $\Leftrightarrow ab+bc+ac=27$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge27\left(đpcm\right)$Câu trả lời: Cô-si đơn giản =) Có $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$Nên $a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)$$a+c\ge2\sqrt{ac}\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\ge4ac\left(2\right)$$c+b\ge2\sqrt{bc}\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\left(3\right)$Cộng (1), (2), (3) vế theo vế$\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc\ge4ab+4ac+4bc$$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$Mà Theo đề $a+b+c+ab+bc+ac=36$ (a=b=c=3)  $\Leftrightarrow ab+bc+ac=27$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge27\left(đpcm\right)$

Phan Nghĩa · Answer

Áp dụng bđt phụ $x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)}{3}$nhé =))Câu trả lời: Áp dụng bđt phụ $x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)}{3}$nhé =))

Phạm Thành Đông · Answer

Ta có:$\left(a-3\right)^2\ge0\forall a$.$\Leftrightarrow a^2-6a+9\ge0\Leftrightarrow a^2+9\ge6a\forall a$..$\Leftrightarrow a^2\ge6a-9\forall a\left(1\right)$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=3$.Tương tự, ta được:$b^2\ge6b-9\forall b\left(2\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow b=3$Tương tự, ta được:$c^2+9\ge6c-9\forall c\left(3\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow c=3$.Lại có:$3\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b$.$\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\forall a;b$.$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)\ge6ab\forall a;b\left(4\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b$.Tương tự, ta được:$3\left(b^2+c^2\right)\ge6bc\forall b;c\left(5\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow b=c$.Tương tự, ta được:$3\left(c^2+a^2\right)\ge6ac\forall a;c\left(6\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=c$.Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right),\left(6\right)$, ta được:$a^2+b^2+c^2+3\left(a^2+b^2\right)+3\left(b^2+c^2\right)+3\left(c^2+a^2\right)$$\ge6a+6b+6c+6ab+6bc+6ca-9-9-9$.$\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-27$.$\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6.36-27$(vì $a+b+c+ab+bc+ca=36$).$\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge189$.$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge27$(điều phải chứng minh).Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$. Vậy với các số $a,b,c$thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ca=36$thì $a^2+b^2+c^2\ge27$.Câu trả lời: Ta có:$\left(a-3\right)^2\ge0\forall a$.$\Leftrightarrow a^2-6a+9\ge0\Leftrightarrow a^2+9\ge6a\forall a$..$\Leftrightarrow a^2\ge6a-9\forall a\left(1\right)$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=3$.Tương tự, ta được:$b^2\ge6b-9\forall b\left(2\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow b=3$Tương tự, ta được:$c^2+9\ge6c-9\forall c\left(3\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow c=3$.Lại có:$3\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b$.$\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\forall a;b$.$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)\ge6ab\forall a;b\left(4\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b$.Tương tự, ta được:$3\left(b^2+c^2\right)\ge6bc\forall b;c\left(5\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow b=c$.Tương tự, ta được:$3\left(c^2+a^2\right)\ge6ac\forall a;c\left(6\right)$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=c$.Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right),\left(6\right)$, ta được:$a^2+b^2+c^2+3\left(a^2+b^2\right)+3\left(b^2+c^2\right)+3\left(c^2+a^2\right)$$\ge6a+6b+6c+6ab+6bc+6ca-9-9-9$.$\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-27$.$\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6.36-27$(vì $a+b+c+ab+bc+ca=36$).$\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge189$.$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge27$(điều phải chứng minh).Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$. Vậy với các số $a,b,c$thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ca=36$thì $a^2+b^2+c^2\ge27$.

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